Что это? Консоль — это журнал событий и командная строка для JavaScript.
Что делать тестировщику? Искать красные сообщения об ошибках после выполнения действий. Они почти всегда указывают на баг.

Что это? Вкладка Elements показывает "живой" HTML-код и CSS-стили.
Что делать тестировщику? Искать элементы, проверять их теги и атрибуты. Временно менять CSS, чтобы проверить гипотезы о визуальных багах.

Что это? Эта вкладка показывает, какие данные сайт хранит в вашем браузере (Local Storage, Cookies и др.).
Что делать тестировщику? Проверять, что сайт сохраняет правильные данные (например, токен авторизации после логина), и что эти данные корректно удаляются (например, при выходе из аккаунта).

Что это? Показывает все файлы, из которых состоит сайт (JS, CSS, картинки).
Что делать? Смотреть, какие скрипты загружены, и ставить "точки останова" (breakpoints) для отладки сложной логики вместе с разработчиком.

Что это? Инструмент для анализа производительности. Записывает, на что браузер тратит время при загрузке и работе страницы.
Что делать? Записывать профиль производительности для "тормозящих" страниц и искать "длинные задачи" (long tasks), которые мешают отзывчивости.

Что это? Вкладка для отслеживания использования оперативной памяти.
Что делать? Делать "снимки памяти" (heap snapshots) до и после выполнения какого-то действия. Если память после действия не освобождается, это может быть утечка (memory leak).

Что это? Вкладка Security показывает информацию о безопасности страницы: валидность сертификата (HTTPS), безопасность подключения и наличие смешанного контента.
Что делать тестировщику? Убедиться, что страница использует HTTPS. Проверить, что сертификат действителен и выдан доверенным центром. Искать предупреждения о "Mixed Content".